Вычислите производную в точке x0

Ответ

Проверено экспертом

Автор - ArtemCoolAc

$f(x)=x^2;: Delta y=f(x_0+Delta x)-f(x_0); : Delta y=(x_0+Delta x)^2-x_0^2; \ Delta y = x^2_0 +2cdot x_0 cdot Delta x+(Delta x)^2-x^2_0=2cdot x_0 cdot Delta x + (Delta x)^2; ; \ boxed{Delta y =2cdot x_0 cdot Delta x + (Delta x)^2}$

Теперь вспоминаем определение производной в точке

$$y(x_0)' = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x} =lim_{Delta x to 0} frac{2cdot x_0 cdot Delta x +(Delta x)^2}{Delta x} =$

$$=lim_{Delta x to 0} frac{Delta x}{Delta x} bigg(2cdot x_0 + Delta x bigg) = lim_{Delta x to 0} (2cdot x_0+Delta x)=2 x_0$

Итак, производная равна:

$boxed{y'(x_0)=2x_0} ;(y=x^2)$

Или, если принять во внимание, что $x_0 in D(y)$

То есть это правило выполняется для любого $x_0$ из области определения функции, следовательно,

$boxed{(x^2)'= 2x}$