докажите, что если в четырехугольнике диагонали делят его углы пополам и взаимно перпендикулярны то этот четырёхугольник - ромб

Ответ:

Объяснение: Дано:
АВСД – ромб
, О-т. пересечения диагоналей.

Доказать:
∠ВАС=∠ДАС ;  АС ⊥ ВД.

Доказательство.

Рассмотрим ΔАВД : О – середина ВД (так как ромб является параллелограммом, то его диагонали в точке пересечения делятся пополам). Кроме того, из определения ромба следует, что АВ=АД . Значит, треугольник АВД – равнобедренный;  АО является медианой этого треугольника, проведённой к основанию, а, значит, и биссектрисой, и высотой. Из этого следует, что:  АО⊥ ВД, то есть диагонали ромба перпендикулярны;
∠ВАС=∠ДАС
, то есть диагонали ромба являются биссектрисами его углов (равенство остальных углов можно доказать аналогично).