Решить сложные производные

Ответ

Автор - QDominus

а) Дана функция

$y = cos(5x)^{ {e}^{x} }$

Запишем выражение в развернутом виде:

$y = {e}^{ ln({ cos(5x) }^{ {e}^{x} }) }$

Дифференцируем как сложную функцию ( y' = g(x) ):

$g(x) = frac{d}{dx} ( {e}^{ {e}^{x} ln( cos(5x) ) } ) \ g(x) = frac{d}{dx} ( {e}^{f}) times frac{d}{dx} ( ln( cos(5x) {e}^{x} ) \ g(x) = {e}^{f} ( - frac{1}{ cos(5x) } times 5 {e}^{x} sin(5x) + ln( cos(5x)) {e}^{x} ) \ g(x) = - 5 {e}^{x} cos(5x) ^{ {e}^{x} - 1} sin(5x) + cos(5x) ^{ {e}^{x} } {e}^{x} ln( cos(5x) )$

б) Дана функция

$y = 3 ln( sqrt{4 + x} + sqrt{1 + x} )$

Дифференцируем как сложную функцию вынеся константу за знак дифференциала ( y' = g(x) ):

$g(x) = 3 frac{d}{dx} ( ln( sqrt{4 + x} + sqrt{1 + x} ) ) \ g(x) = 3 frac{d}{dx} ( ln(f) ) times frac{d}{dx} ( sqrt{4 + x} + sqrt{1 + x} ) \ g(x) = frac{3}{f} ( frac{1}{2 sqrt{4 + x} } + frac{1}{2 sqrt{1 + x} } ) \ g(x) = frac{3}{ sqrt{4 + x} + sqrt{1 + x} } times frac{ sqrt{1 + x} + sqrt{4 + x} }{2 sqrt{(4 + x)(1 + x)} } \ g(x) = frac{3}{2 sqrt{(4 + x)(1 + x)} } \ g(x) = frac{3}{2 sqrt{ {x}^{2} + 5x + 4} }$

в) И опять дана функция

$y = frac{ { sin(x) }^{2} }{ cos(x) }$

Дифференцируем используя правило дифференцирования частного ( y' = g(x) ):

$g(x) = frac{d}{dx} ( frac{ { sin(x) }^{2} }{ cos(x) } ) \ g(x) = frac{ frac{d}{dx}( { sin(x) }^{2} ) cos(x) - frac{d}{dx}( cos(x)) { sin(x) }^{2}}{ cos(x)^{2} } \ g(x) = frac{(2 sin(x) cos(x) ) cos(x) - { sin(x) }^{2} ( - sin(x)) }{ { cos(x) }^{2} } \ g(x) = frac{ sin(2x) cos(x) + { sin(x) }^{3} }{ { cos(x) }^{2} }$