Y''+4xy'+(2+4x^2)y=0 дифф урав помогите решать?

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Если дифференциальное уравнение представлено в форме

$y''+f(x)y'+y(x)g(x)=F(x)$ , то для него используется замена

$y=displaystyle expleft{intfrac{f(x)}{2}dxright}v(x)$ , которая устранит термин первого порядка.

Это замена формы $y(x)=mu (x)v(x)$

Положим $mu (x)=expleft{displaystyle int -2xdxright}=e^{-x^2}$ и подставив замену $y=e^{-x^2}v(x)$ , получим

$e^{-x^2}v''-4e^{-x^2}cdot xv'+4xleft(e^{-x^2}v'-2e^{-x^2}xvright)+\ \ +left(-2e^{-x^2}+4e^{-x^2}x^2right)v+2e^{-x^2}(2x^2+1)v=0\ \ \ e^{-x^2}cdot v''+left(-2e^{-x^2}-4e^{-x^2}cdot x^2+2e^{-x^2}(2x^2+1)right)v=0\ \ \ e^{-x^2}cdot v''=0\ \ \ v''=0\ \ v'=C_1\ \ v=displaystyle int C_1dx=C_1x+C_2$

Возвращаемся к обратной замене

$y=e^{-x^2}Big(C_1x+C_2Big)$ — общее решение диф. уравнения

y''+4xy'+(2+4x^2)y=0 дифф урав помогите решать?

Ответ

Проверено экспертом

Ответы и объяснения