Найти значения выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений

а) (3a+4b)*(a-b)

б) |(3a-4b)×(b+a)|


где |a| = 5, |b| = 2, a^b = п/6

Ответ:

а) (3·a+4·b)·(a-b)=59+5·√3

б)  |[(3·a-4·b) × (b+a)]|=35

Пошаговое объяснение:

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними (векторы = жирный шрифт):

a · b = |a| · |b| cos α

|a| = 5, |b| = 2, α=∠(a,b) = π/6

Полезное для задачи свойства скалярного произведения векторов

1) (α·a) · b = α·(a · b)

2) a · b = b · a

3) a · a = |a|²

4) (a + b) · c = a · c + b · c

а) (3·a+4·b)·(a-b)=3·a·a-3·a·b+4·b·a-4·b·b=3·|a|²-3·a·b+4·a·b-4·|b|²=

=3·5²+a·b-4·2²=3·25+|a| · |b| cos π/6-4·4=75+5·2·√3/2-16=59+5·√3

Векторным произведением двух векторов  a и b будем называть такой вектор c=[axb], длина которого определяется по формуле:  

|c|=|a x b| = |a| · |b| sin α

Полезное для задачи свойства векторного  произведения векторов

1) [α·a x b]= α·[a x b]

2) [a x b] = - [b x a]

3) [a x a} = 0, так как sin 0°=0

4) [(a + b) x c] = [a x c]+ [b x c]

б)  |[(3·a-4·b) × (b+a)]|=|3·[a × b]+3·[a x a]-4·[b × b]-4·[b × a]|=

=|3·[a × b]+0-0+4·[a × b]|=7·|[a × b]|=7·|a| · |b| · sin π*6=7·5·2·1/2=35