Покажите,что n⁴+4 является составным при любом натуральном n,большем единицы

Ответ:

Доказательство.

Разложим на множители:

n⁴+4=n⁴+4·n²+4-4·n²=(n²+2)²-4·n²=(n²-2·n+2)·(n²+2·n+2)

При любом n>1 второй множитель (n²+2·n+2)>2.

Рассмотрим первый множитель:

n²-2n+2=n²-2n+1+1=(n-1)²+1

При n>1 выражение (n-1)²>1 и поэтому (n-1)²+1 >2.

Так как оба множители больше 2, то число n⁴+4 составное!