Построить график y(x)= (x^3 -1)/(x^2 -1)

Ответ

Ответ дан

nikebod313

$f(x) = dfrac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}$

$1) D(f): x^{2} - 1 neq 0; x^{2} neq 1; x neq pm 1$

Следовательно, $x in (- infty; -1) cup (-1; 1) cup (1; +infty)$

$2) f(-x) = dfrac{(-x)^{3} - 1}{(-x)^{2} - 1} = dfrac{-x^{3} - 1}{x^{2} - 1} = -dfrac{x^{3} + 1}{x^{2} - 1} neq f(x) neq -f(x)$ , значит, функция ни четная, ни нечетная; непериодическая.

$3)$ Если $x = 0$ , то $y = 1$ , значит (0; 1) — точка пересечения с осью ординат. Если $y = 0$ , то есть $dfrac{x^{3} - 1}{x^{2} -1} = 0$ , то $x notin mathbb{R}$ . Таким образом, функция не имеет точек пересечения с осью абсцисс.

Значит, (0; 1) — единственная точка пересечения графика функции с осями координат.

$4)$ Поскольку $x = 1$ и $x = -1$ — точки разрыва функции и $underset{xrightarrow -1}{lim} dfrac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1} = infty$ и $underset{xrightarrow 1}{lim} dfrac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1} = left(dfrac{0}{0} right) = underset{xrightarrow 1}{lim}dfrac{(x - 1)(x^{2} + x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = underset{xrightarrow 1}{lim} dfrac{x^{2} + x + 1}{x + 1} = dfrac{3}{2} neq infty$ , то $x=-1$ — вертикальная асимптота.

Если $xrightarrow -1, x < -1$ , то $yrightarrow -infty$ ; если $xrightarrow -1, x > -1$ , то $yrightarrow +infty$ .

Найдем наклонные асимптоты $(y = kx + b)$ :

$k=underset{xrightarrow infty}{lim} } dfrac{f(x)}{x}=underset{xrightarrow infty}{lim}}dfrac{dfrac{x^{3}-1}{x^{2}-1}}{x}=underset{xrightarrow infty}{lim}} dfrac{x^{3}-1}{x(x^{2} - 1)}=left(dfrac{infty}{infty}right)=\=underset{xrightarrow infty}{lim} }dfrac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{x(x-1)(x+1)}=underset{xrightarrowinfty}{lim} } dfrac{x^{2}+x+1}{x^{2}+x}=underset{xrightarrowinfty}{lim} }dfrac{x^{2}left(1+dfrac{1}{x}+dfrac{1}{x^{2}} right)}{x^{2}left(1+dfrac{1}{x}right)}=$

$= underset{xrightarrow infty}{lim} } dfrac{1 + dfrac{1}{x} + dfrac{1}{x^{2}} }{1 + dfrac{1}{x} } = dfrac{1 + 0 + 0}{1 + 0} = 1$

$b = underset{xrightarrow infty}{lim} } (f(x) - kx) = underset{xrightarrow infty}{lim} } left(dfrac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1} - x right) = underset{xrightarrow infty}{lim} } dfrac{1}{x + 1} = dfrac{1}{infty} = 0$

Следовательно, $y = x$ — наклонная асимптота.

$5) f'(x) = left(dfrac{x^{3} - 1}{x^{2} -1} right)' = dfrac{3x^{2}(x^{2} - 1) - 2x(x^{3} - 1)}{(x^{2} - 1)^{2}} = dfrac{x(3x(x^{2} - 1) - 2(x^{3} - 1))}{(x^{2} - 1)^{2}} =\= dfrac{x(3x^{3} - 3x - 2x^{3} + 2)}{(x^{2} - 1)^{2}} = dfrac{x(x^{3} - 4x + x + 2)}{(x^{2} - 1)^{2}} = dfrac{x(x(x - 2)(x + 2) + x + 2)}{(x^{2} - 1)^{2}} =\= dfrac{x(x + 2)(x - 1)^{2}}{(x - 1)^{2}(x+1)^{2}} = dfrac{x(x + 2)}{(x + 1)^{2}}$

Найдем критические точки, приравняв первую производную к нулю: $dfrac{x(x + 2)}{(x + 1)^{2}} = 0,$ откуда $x = 0$ и $x = -2$ .

Заполним таблицу №1 (см. вложение).

$7) f''(x) = left(dfrac{x^{2} + 2x}{(x + 1)^{2}} right)' = dfrac{(2x + 2)(x + 1)^{2} - x(2x + 2)(x + 2) }{((x + 1)^{2})^{2}} =\= dfrac{(2x + 2)((x + 1)^{2} - x(x + 2))}{(x + 1)^{4}} = dfrac{2(x + 1)(x^{2} + 2x + 1 - x^{2} - 2x)}{(x + 1)^{4}} = dfrac{2}{(x + 1)^{3}}$

Если $f''(x) = 0$ , то есть $dfrac{2}{(x + 1)^{3}} = 0$ , то $x notin mathbb{R}$ , значит, нет точек перегиба.

Систематизируем данные, полученные по второй производной, в таблицу №2.

$8)$ График функции изображен на рисунке (см. вложение).

$9)$ Из графика делаем вывод:

$E(f): y in (-infty; -3] cup [1; +infty)$