Помогите решить тригонометрию

Ответ

Автор - Medved23

Для начала распишем парочку формул

$tgalpha+tgbeta=frac{sinalpha}{cosalpha} +frac{sinbeta}{cosbeta}=frac{sinalphacosbeta+cosalphasinbeta}{cosalphacosbeta}=frac{sin(alpha+beta)}{cosalphacosbeta}$

Аналогично можно доказать, что

$tgalpha-tgbeta=frac{sin(alpha-beta)}{cosalphacosbeta}$ .

Сумма котангенсов:

$ctgalpha+ctgbeta=frac{cosalpha}{sinalpha}+ frac{cosbeta}{sinbeta}=frac{cosalphasinbeta+cosbetasinalpha}{sinalphasinbeta} =frac{sin(alpha+beta)}{sinalphasinbeta}$

Аналогично можно доказать, что

$ctgalpha-ctgbeta=-frac{sin(alpha-beta)}{sinalphasinbeta}$

1) Имеем:

$frac{tgalpha+tgbeta}{tgalpha-tgbeta} -frac{sin(alpha+beta)}{sin(alpha-beta)} +frac{sin(alpha+beta)}{sinalphasinbeta}=frac{sin(alpha+beta)}{cosalphacosbeta}:frac{sin(alpha-beta)}{cosalphacosbeta}-frac{sin(alpha+beta)}{sin(alpha-beta)}+ctgalpha+ctgbeta=frac{sin(alpha+beta)}{sin(alpha-beta)}-frac{sin(alpha+beta)}{sin(alpha-beta)}+ctgalpha+ctgbeta=ctgalpha+ctgbeta$

2) Имеем:

$frac{sin(alpha-beta)}{sinalphasinbeta}+frac{sin(beta-x)}{sinbetasin x}+frac{sin(x-alpha)}{sinalphasin x}=-(ctgalpha-ctgbeta)-(ctgbeta-ctgx)-(ctgx-ctgalpha)=-ctgalpha+ctgbeta-ctgbeta+ctgx-ctgx+ctgalpha=0$