№1. Найти точки пересечения асимптот гиперболы х²-3у²=12 с окружностью,имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат.

№2. Гипербола проходит через точку М(6; 3√5/2),симметрична относительно осей координат и имеет вещественную полуось а=4. Написать уравнения перпендикуляров ,опущенных из левого фокуса гиперболы на ее асимптоты.

С подробным решением и объяснением ,пожалуйста! :)

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Artem112

1.
Уравнение гиперболы имеет стандартный вид: $cfrac{x^2}{a^2} - cfrac{y^2}{b^2} =1$ , где а и b - полуоси гиперболы
$x^2-3y^2=12 \ cfrac{x^2}{12} - cfrac{3y^2}{12} =1 \ cfrac{x^2}{12} - cfrac{y^2}{4} =1 \ cfrac{x^2}{( sqrt{12} )^2} - cfrac{y^2}{2^2} =1$
Значит, у гиперболы $a= sqrt{12} =2 sqrt{3} ; b=2$
Правый фокус гиперболы имеет вид F(c; 0), где $c= sqrt{a^2+b^2}$
Находим с:
$c= sqrt{( sqrt{12})^2+2^2 } =4$
Так как окружность проходит через начало координат, то ее радиус равен абсциссе правого фокуса, то есть $R=c=4$
Общий вид уравнения окружности: $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$ , где $(x_0; y_0)$ - центр окружности, R - ее радиус
Уравнение окружности: $(x-4)^2+y^2=16$
Асимптоты гиперболы имеют вид: $y=pm frac{b}{a} x$
Тогда, асимптоты гиперболы $y=pm frac{2}{2 sqrt{3} } x=pmfrac{ x }{sqrt{3}}$
Подставляем в уравнение окружности выражение для у:
$(x-4)^2+( frac{x}{ sqrt{3} } )^2=16 \ x^2-8x+16+ frac{x^2}{ 3} } =16 \ frac{4x^2}{ 3} }-8x =0 \ x^2-6x =0 \ x_1=0; x_2=6$
Тогда у для соответствующих х равны:
$y_1= frac{x_1}{ sqrt{3} } =frac{0}{ sqrt{3} } =0 \ y_1'= -frac{x_1}{ sqrt{3} } =-frac{0}{ sqrt{3} } =0 \ y_2= frac{x_2}{ sqrt{3} } =frac{6}{ sqrt{3} } =2 sqrt{3} \ y_2'= -frac{x_2}{ sqrt{3} } =-frac{6}{ sqrt{3} } =-2 sqrt{3}$
Ответ: $(0; 0)$ ; $(6; 2 sqrt{3} )$ ; $(6; -2 sqrt{3} )$

2.
Так как известна одна полуось и точка, принадлежащая гиперболе, о можно найти вторую полуось:
$cfrac{x^2}{a^2} - cfrac{y^2}{b^2} =1 \ cfrac{6^2}{4^2} - cfrac{(3 sqrt{5}) ^2}{2^2cdot b^2} =1 \ cfrac{36}{16} - cfrac{45}{4cdot b^2} =1 \ cfrac{45}{4cdot b^2} = cfrac{36}{16}-1 \ cfrac{45}{4cdot b^2} = cfrac{20}{16} \ cfrac{9}{b^2} = cfrac{4}{4} \ b^2=9; b=3$
Тогда уравнения асимптот принимают вид: $y=pm frac{3}{4} x$
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой является обратным и противоположным числом к угловому коэффициенту исходной прямой: $k_2=- cfrac{1}{k_1}$
Тогда, для прямой $y=frac{3}{4}x$ таким коэффициентом является число $- frac{4}{3}$ , а для прямой $y=-frac{3}{4}x$ - число $frac{4}{3}$
Левый фокус гиперболы имеет вид F(-c; 0), где $c= sqrt{a^2+b^2}$
$c=sqrt{4^2+3^2} =5$ , следовательно через точку (-5; 0) нужно провести искомые прямые
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку $(x_0; y_0)$ с заданным угловым коэффициентом k имеет вид: $y-y_0=k(x-x_0)$
Тогда:
$y-0=pm frac{4}{3} (x-(-5)) \ y=pm frac{4}{3} (x+5)$
Или по отдельности:
$y_1=frac{4}{3} (x+5)=frac{4}{3} x+ frac{20}{3} \ y_2=-frac{4}{3} (x+5)=-frac{4}{3} x- frac{20}{3}$