Cos7x+cosx=2cos3x(sin2x-1)

Ответ

Автор - iknowthatyoufeelbro

Ответ:

$x=frac{pi}{6}+frac{pi n}{3},n in Z$

$(-1)^nfrac{arcsin(frac{sqrt{17}-1}{4})}{2}+frac{pi k}{2},kin Z$

Объяснение:

По формуле суммы косинусов преобразуем левую часть уравнения.

$cos(7x)+cos(x)=2cos((7x+x)/2)cos((7x-x)/2)=2cos(4x)cos(3x)$

Тогда

$2cos(4x)cos(3x)=2cos(3x)(sin(2x)-1),\cos(3x)(sin(2x)-1-cos(4x))=0$

Получаем совокупность двух уравнений:

$1)cos(3x)=0,\2)sin(2x)-1-cos(4x)=0$

Решим первое:

$cos(3x)=0,\3x=frac{pi}{2}+pi n,\x=frac{pi}{6}+frac{pi n}{3},n in Z$

Решим второе:

$sin(2x)-1-cos(4x)=0\sin(2x)-1-(1-2sin^2(2x))=0\2sin^2(2x)+sin(2x)-2=0$

Пусть $t=sin(2x)$ . Тогда

$2t^2+t-2=0\D=1^2-4*2*(-2)=17\t_{1,2}=frac{-1pm sqrt{17}}{2*2}\t_1=frac{-1-sqrt{17}}{4}\t_2=frac{sqrt{17}-1}{4}$

Проверим для каждого t, имеет ли решения уравнение $t=sin(2x)$ . Для этого проверим, попадают ли они в границы множества значения синуса, то есть [-1;1].

1) Сравним $frac{-1-sqrt{17}}{4}$ и -1. Так как оба отрицательные, то можно убрать минус и сравнить $frac{1+sqrt{17}}{4}$ с 1.