Help!с подробным решением,пожалуйста.

Ответ

Автор - Hunter996

$4) 3^{3cosx-cos^2x}=frac{1}{3}; x E [-frac{pi}{2};pi] \ 3^{3cosx-cos^2x}=3^{-1}\ 3cosx-cos^2x=-1\ cos^2x-3cosx-1=0\ ***cos^2x=a***\ a^2-3a-1=0\ D=9+4=13\ |a=frac{3+sqrt{13}}{2}\ |a=frac{3-sqrt{13}}{2}\ \ |cosx=frac{3+sqrt{13}}{2}\ |cosx=frac{3-sqrt{13}}{2}\$
$-1 leq cosx leq 1;\ 3+sqrt{13} textgreater 2 = textgreater frac{3+sqrt13}{2} textgreater 1 = textgreater cosx neq frac{3+sqrt{13}}{2}\ 3-sqrt{13}:\$
Здесь проведём оценку числителя. Косинус лежит в отрезке [-1;1]. То есть в этом отрезке лежит дробь (3-√13)/2. Домножим на 2 края отрезка и саму дробь, чтобы избавиться от знаменателя. Получим, что 3-√13 должна лежать в отрезке [-2;2]. Очевидно, что 3<√13, поскольку их квадраты оцениваются так же (9<13), то есть 3-√13<0. То есть 3-√13 гарантировано <2. Нужно показать, что 3-√13>=-2. Для этого перенесём -2 в левую часть, а корень - в правую.
3+2>=√13
5>=√13
Возведём в квадрат
25>=13 - верно, значит 3-√13>=-2. Мы предположили это и пришли к верному выводу, значит наше предположение верно. То есть нас устраивает только один из корней - (3-√13)/2
$cosx=frac{3-sqrt{13}}{2}\ x=+-arccos(frac{3-sqrt{13}}{2})+2pi k\$
Дальше будет проще воспользоваться единичной окружностью: изобразим этот интервал и посмотрим, какие точки туда попадают. Исходя из рисунка очевидно, что для положительного решения нужно взять k=0, то есть
$x=arccos(frac{3-sqrt{13}}{2})$ - ответ.
$5) sin3x=4sinxcos2x; x E (0;frac{3pi}{2})\ sin3x=4*frac{sin(x+2x)+sin(x-2x)}{2}\ sin3x=2sin(3x)+2sin(-x)\ -sin3x=-2sinx\ -3sinx+4sin^3x+2sinx=0\ 4sin^3x-sinx=0\ sinx(4sin^2x-1)=0\ |sinx=0 = textgreater x=pi k\ |4sin^2x-1=0\ \ |x=pi k\ |sin^2x=frac{1}{4}\$
$\ |x=pi k\ |sinx=+-frac{1}{2}\ \ |x=pi k\ |x=+-frac{pi}{6}+2pi k\ |x=+-frac{5pi}{6}+2pi k\$
Дальше можно решить двумя путями: через неравенства или же аналогично предыдущему примеру через окружности. Я просто напишу, какие корни попадают, чтобы решение не показалось слишком большим.
$x=frac{pi}{6}; frac{5pi}{6}; pi; frac{7pi}{6}$
$6) 6sin^2x+2sin^22x=5\ 6sin^2x+8sin^2xcos^2x=5\ 6sin^2x+8sin^2x(1-sin^2x)=5\ 6sin^2x+8sin^2x-8sin^4x-5=0 ||*(-1)\ 8sin^4x-14sin^2x+5=0\ D=196-160=36\ |sin^2x=frac{7+3}{8} = textgreater sin^2x=frac{5}{4} textgreater 1\ |sin^2x=frac{7-3}{8} - textgreater sin^2x=frac{1}{2}\$
sin²x=5/4 решений не имеет, так как, если опустить корень, то полученное число - √5 /2 - больше единицы, а синус лежит в отрезке [-1;1].
$sin^2x=frac{1}{2}\ |sinx=frac{sqrt2}{2}\ |sinx=-frac{sqrt2}{2}\ \ x=frac{pi}{4}+frac{pi k}{2}\ x E (frac{pi}{2};frac{3pi}{2})\ frac{pi}{2} textless frac{pi}{4}+frac{pi k}{2} textless frac{3pi}{2}\ frac{pi}{4} textless frac{pi k}{2} textless frac{5pi}{4}\ frac{1}{2} textless k textless frac{5}{2}\ frac{1}{2} textless k textless 2frac{1}{2} = textgreater k=1; 2\ k=1 = textgreater x=frac{pi}{4}+frac{pi}{2}=frac{3pi}{2}\ k=2 = textgreater x=frac{pi}{4}+pi=frac{5pi}{4}$

$7) frac{1}{cos^2x}-frac{4}{sin^2x}+6=0; x E (-frac{7pi}{2};-2pi); sinx neq0; cosx neq 0\ 1+tg^2x-4(1+ctg^2x)+6=0\ 1+tg^2x-4-4ctg^2x+6=0\ tg^2x-frac{4}{tg^2x}+3=0\ tg^2x*tg^2x-frac{4}{tg^2x}*tg^2x+3*tg^2x=0\ (tg^2x)^2+3tg^2x-4=0\ ***tg^2x=a***\ a^2+3a-4=0\ D=9+16=25\ |a=frac{-3+5}{2} = textgreater a=1\ |a=frac{-3-5}{2} = textgreater a=-4\ \ |tg^2x=1\ |tg^2x=-4\$
У второго уравнения решений нет, так как слева стоит квадрат, который неотрицателен для любого x, а справа - отрицательное число.
$tg^2x=1\ |tgx=1\ |tgx=-1\ \ |x=frac{pi}{4}+pi k\ |x=-frac{pi}{4} +pi k\$
Объединим в одно решение:
$x=frac{pi}{4}+frac{pi k}{2}\ x E (-frac{7pi}{2};-2pi)\ -frac{7pi}{2} textless frac{pi}{4}+frac{pi k}{2} textless -2pi\ -frac{15pi}{4} textless frac{pi k}{2} textless -frac{9pi}{4}\ -frac{15}{2} textless k textless -frac{9}{2}\ -7frac{1}{2} textless k textless -4frac{1}{2} = textgreater k=-5, -6,-7\ k=-5 = textgreater x=frac{pi}{4}-frac{5pi}{2}=-frac{9pi}{4}\ k=-6 = textgreater x=frac{pi}{4}-3pi=-frac{11pi}{4}\ k=-7 = textgreater x=frac{pi}{4}-frac{7pi}{2}=-frac{13pi}{4}$

Ответ

Проверено экспертом

Автор - philadelphiaex

6 решил, остальное как решать не ведаю.

Help!С подробным решением,пожалуйста.

Ответ

Ответ

Проверено экспертом

Ответы и объяснения