В треугольнике АВС внешние углы при вершинах А и В равны, а внешний угол при вершине С в два раза меньше его внутреннего угла. Определите, какая из сторон треугольника АВС является наибольшей

Так как внутренний угол С в два раза больше его внешнего угла (а сумма внешнего и внутреннего углов равна 180 градусов), следовательно, угол С равен 120 градусов. Дальше можно не считать - если в треугольнике есть прямой или тупой угол, то против него всегда лежит бОльшая сторона.
Ответ: АВ.