Медианы треугольника равны 3,4,5. найти периметр треугольника.

Ответ

Проверено экспертом

Автор - nabludatel00

вспоминаем, что медианы делятся точкой пересечения в отношении 1:2.
обозначим медианы каку m,n,k а стороны a,b,c
сделаем допостроение до параллелограмма. (из рисунка , думаю, все предельно ясно)
есть такая теорема, что сумма квадратов параллелограмма равна сумме квадратов его сторон .
т.е.
$a^{2}+ ( frac{2m}{3}) ^{2}=2( ( frac{2k}{3}) ^{2}+( frac{2n}{3} )^{2} ) \ a^{2}= frac{4}{9} (2k^{2}+ 2n^{2} -m^{2})$
аналогично для b и c
$b^{2}= frac{4}{9}( 2k^{2}+2m^{2}- n^{2}) \ c^{2}= frac{4}{9} ( 2m^{2}+2n^{2}-k^{2})$

подставляя значения 3,4,5 в m,n,k получаем
$a= frac{10}{3} \ b= frac{4}{3} sqrt{13} \ c= frac{2}{3} sqrt{73}$
Периметр, думаю, найдете сами - сложите a,b.c :)

Медианы треугольника равны 3,4,5. Найти периметр треугольника.

Ответ

Проверено экспертом

Ответы и объяснения