Решите уравнение: tex2sin3x+cos5x-sqrt3 sin5x=0/tex

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Ответ:................

Объяснение:

Ответ

Автор - ArtemCoolAc

$2sin: 3x+cos : 5x-sqrt{3}cdot sin: 5x=0$

Будем применять метод вспомогательного аргумента (для 2-го и 3-го слагаемых):

$displaystyle sqrt{1^2+(-sqrt{3})^2} left(frac{1}{sqrt{1^2+(-sqrt{3})^2}}cdot cos : 5x-frac{sqrt{3}}{sqrt{1^2+(-sqrt{3})^2}}cdot sin:5x right) = \ = 2left(frac{1}{2}cdot cos:5x-frac{sqrt{3}}{2}cdot sin:5x)=2left(sinfrac{pi}{6} cdot cos:5x-cosfrac{pi}{6}cdot sin: 5x right) =$

$displaystyle = 2sinleft(frac{pi}{6}-5xright)$

После преобразования видно, что делать дальше.

$displaystyle 2sin:3x+2sinleft(frac{pi}{6}-5xright)=0 Rightarrow sin:3x+sinleft(frac{pi}{6}-5xright)=0 Rightarrow \ Rightarrow 2sinleft(frac{3x+frac{pi}{6}-5x}{2}right)cosleft(frac{3x-(frac{pi}{6}-5x)}{2}right)=0 Rightarrow \ Rightarrow 2sinleft(-x+frac{pi}{12} right)cosleft(4x-frac{pi}{12}right)=0 Rightarrow$

$displaystyle Rightarrow left [ {{sinleft(x-frac{pi}{12}right)=0} atop {cosleft(4x-frac{pi}{12}right)=0}} right. Rightarrow left [ {{x-frac{pi}{12}=pi k,: kin mathbb{Z}} atop {4x-frac{pi}{12}=frac{pi}{2}+pi n, : nin mathbb{Z}}} right. Rightarrow$

$displaystyle Rightarrow left [ {{x=frac{pi}{12}+ pi k, :kin mathbb{Z} } atop {4x=frac{7pi}{12}+pi n,: nin mathbb{Z}}} right. Rightarrow left [ {{x=frac{pi}{12}+ pi k, :kin mathbb{Z} } atop {x=frac{7pi}{48}+frac{pi n}{4},: nin mathbb{Z}}} right.$

Ответ: $boxed{x=frac{pi}{12}+ pi k, :kin mathbb{Z}; x=frac{7pi}{48}+frac{pi n}{4},: nin mathbb{Z}}$

Формулы, которые использовались:

1. Введение дополнительного аргумента

$displaystyle a:cosxpm b:sinx=sqrt{a^2+b^2}left(frac{a}{sqrt{a^2+b^2}}cdot cosx pmfrac{b}{sqrt{a^2+b^2}}cdot sinx right) =\=sqrt{a^2+b^2} left(sinphicdot cosxpm cosphicdot sinx)=sqrt{a^2+b^2}cdot sin(phi pm x)$

$displaystyle phi = arcsinfrac{a}{sqrt{a^2+b^2}}=arccosfrac{b}{sqrt{a^2+b^2}}$

Кстати, если поменять косинус и синус местами, то все везде по ходу преобразований эти самые замены будут произведены и в итоговом синусе суммы внутри надо будет переставить аргументы местами (естественно, особое значение это играет при наличии знака "-")

2. Сумма/разность синусов:

$displaystyle sin:xpm sin:y=2:sinfrac{xpm y}{2}cosfrac{xmp y}{2}$

Решите уравнение:
$2sin3x+cos5x-sqrt{3} sin5x=0$

Ответ

Проверено экспертом

Ответ

Ответы и объяснения