Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка.Пожалуйста помогите решить y```-13y``+12y`=0 y(0)=0,y`(0)=1,y``(0)=133

Ответ

Автор - o1l7eg17

$y'''-13y''+12y'=0$
$(e^{lambda x})'''-13(e^{lambda x})''+12(e^{lambda x})'=0$
$lambda^3e^{lambda x}-13lambda^2e^{lambda x}+12lambda e^{lambda x}=0$
$(lambda^3 -13lambda^2+12lambda)e^{lambda x}=0$
$lambda^3-13lambda^2+12lambda=0$
$lambda(lambda -12)(lambda-1)=0$
$lambda_1=0hspace*{25}lambda_2=12hspace*{25}lambda_3=1$
$y_1=C_1hspace*{25}y_2=C_2e^xhspace*{25}y_3=C_3e^{12x}$
Общее решение:
$y=y_1+y_2+y_3=C_1+C_2e^x+C_3e^{12x}$
Найдем производную общего решения:
$y'=(C_1+C_2e^x+C_3e^{12x})'=C_2e^x+12C_3e^{12x}$
Найдем вторую производную:
$y''=(C_1+C_2e^x+C_3e^{12x})'=C_2e^x+144C_3e^{12x}$
Согласно первому условию:
$y=C_1+C_2e^0+C_3e^{12*0}=>C_1+C_2+C_3=0$
Согласно второму условию:
$y'=C_2e^0+12C_3e^{12*0}=>C_2+12C_3=1$
Согласно третьему условию:
$y''=C_2e^0+144C_3e^{12*0}=>C_2+144C_3=133$
Составим систему:
$begin{equation*} begin{cases} C_1+C_2+C_3=0, \ C_2+12C_3=1, \ C_2+144C_3=133 end{cases} end{equation*}$

$begin{equation*} begin{cases} C_1+C_2+C_3=0, \ C_2+12C_3=1, \ 132C_3=132. end{cases} end{equation*}$

$begin{equation*} begin{cases} C_1+C_2+C_3=0, \ C_2+12C_3=1, \ C_3=1. end{cases} end{equation*}$

$begin{equation*} begin{cases} C_1+C_2+C_3=0, \ C_2=-11, \ C_3=1. end{cases} end{equation*}$

$begin{equation*} begin{cases} C_1+C_3=11, \ C_2=-11, \ C_3=1. end{cases} end{equation*}$

$begin{equation*} begin{cases} C_1=10, \ C_2=-11, \ C_3=1. end{cases} end{equation*}$

Получим частное решение:
$y=e^{12x}-11e^{x}+10$