Найти площадь фигуры ограниченной линиями. y=x^2-x , y=3x

Ответ

Автор - papagenius

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Найдем точки пересечения параболы y = x² - x и прямой y = 3x

$[left{begin{gathered}y={x^2}-xhfill\y=3xhfill\end{gathered}right.Leftrightarrowleft{begin{gathered}{x^2}-x=3xhfill\y=3xhfill\end{gathered}right.Leftrightarrowleft{begin{gathered}{x^2}-4x=0hfill\y=3xhfill\end{gathered}right.Leftrightarrowleft{begin{gathered}x(x-4)=0hfill\ y=3xhfill\end{gathered}right.Leftrightarrowleft{begin{gathered}{x_1}=0,{x_2}=4hfill\{y_1}=0,{y_2}=12hfill\end{gathered}right.]$

Парабола и прямая пересекаются в точках (0; 0) и (4; 12)

Для того, чтобы получить площадь фигуры ограниченной линиями, необходимо вычислить определенный интеграл вида:

$displaystyle[intlimits_a^b{left({f(x)-g(x)}right)}dx]$

где a = x₁, b = x₂

$[begin{gathered}f(x)=3xhfill\g(x)={x^2}-xhfill\end{gathered}]$

$displaystyle [intlimits_0^4{3xdx-intlimits_0^4{({x^2}-x)dx}}=24-frac{{40}}{3}=boxed{frac{{32}}{3}}]$

$displaystyle [intlimits_0^4{3xdx=3cdotfrac{{{x^2}}}{2}mathop|limits_0^4=}3cdotfrac{{{4^2}}}{2}-3cdotfrac{{{0^2}}}{2}=3cdot8-0=24]$

$displaystyle [intlimits_0^4{({x^2}-x)dx=left({frac{{{x^3}}}{3}-frac{{{x^2}}}{2}}right)}mathop|limits_0^4=left({frac{{{4^3}}}{3}-frac{{{0^3}}}{3}}right)-left({frac{{{4^2}}}{2}-frac{{{0^2}}}{2}}right)=frac{{64}}{3}-frac{{16}}{2}=frac{{40}}{3}]$