В равнобедренном треугольнике ABC с равными сторонами AB и BC окружность, проходящая через вершины B,C и середину K стороны AB, пересекает прямую,
содержащую высоту BH, в точке L. Докажите, что треугольник AKL равнобедренный.

Точка L равноудалена от A и C, потому что лежит на прямой, перпендикулярной AC и проходящей через его середину.
То есть AL = LC;
Дуги KL и LC равны, поскольку равны вписанные углы KBL и LBC.
Поэтому равны и хорды KL = LC.
Отсюда AL = KL

В решении ни где не использовано, что точка K - середина AB. Да это и не играет роли, где бы на АВ она не находилась (и даже на продолжении луча BA за точку A), все равно KL = AL. То есть все, что надо - что точки B C L и K лежат на одной окружности (ну, и точка K лежит на луче BA с началом в точке B, а L - на биссектрисе угла ABC).