Помогите, пожалуйста, с системой уравнений

Ответ

Проверено экспертом

Автор - nafanya2014

Приводим дроби каждого уравнения системы к общему знаменателю(слева должен стоять знак системы):
$frac{y+z+x}{x(y+z)}= frac{6}{5} \ \frac{z+x+y}{y(z+x)}= frac{3}{4} } \ \ frac{x+y+z}{z(x+y)}= frac{2}{3}$
Применяем основное свойство пропорции и переписываем уравнения в виде:
$x+y+z= frac{6}{5}x(y+z) \ \ x+y+z= frac{3}{4}y(z+x) \ \ x+y+z= frac{2}{3}z(x+y)$
Умножим первую строчку на 5/6, вторую на 4/3, третью на 3/2:
$frac{5}{6}( x+y+z)=xy+xz \ \ frac{4}{3}(x+y+z)=yz+yx \ \ frac{3}{2}(x+y+z)= zx+zy$
Складываем эти уравнения
$frac{5+8+9}{6}(x+y+z)=2(xy+yz+zx) \ \ xy+yz+zx= frac{11}{6}(x+y+z)$

Умножаем каждое уравнение системы на (-1) и складываем с уравнением
$xy+yz+zx= frac{11}{6}(x+y+z)$

$yz= frac{6}{6} (x+y+z) \ \ xz= frac{1}{2}(x+y+z) \ \ xy= frac{1}{3}(x+y+z)$
Делим первое уравнение на второе:
$frac{yz}{xz}= 2 Rightarrow y=2x$
Делим первое уравнение на третье:
$frac{yz}{xy}= 3 Rightarrow z=3x$

Подставляем у=2х и z=3x в любое уравнение, например в уравнение:
$yz= x+y+z \ 2xcdot 3x= x+2x+3x \ \ 6x^{2} =6x \ \ x=1 \ y=2x=2cdot 1=2 \ \ z=3x=3cdot 1=3$
Ответ. х=1; у=2; z=3