В середине выпуклого четырехугольника АВСD задана точка М. Она симметрично отображена относительно середин Т_1, Т_2 ,Т_3, Т_4 сторон четырехугольника. Полученные точки М_1, М_2 ,М_3, М_4 соединены так, что образовался выпуклый четырехугольник. Доказать, что его площадь не зависит от выбора точки М.

Хорошая задача, хотя и очень простая. Каждый отрезок, который соединяет M с её образами M_1 ... проходит через середину стороны четырехугольника и делится ей пополам.
Если соединить все середины сторон четырехугольника, то получится параллелограмм, стороны которого равны половине диагоналей четырехугольника (и параллельны им).
Легко видеть, что, к примеру, отрезок T_1T_2 - средняя линия треугольника MM_1M_2. И точно также - остальные. Поэтому многоугольник M_1M_2M_3M_4 - параллелограмм, стороны которого в два раза больше сторон параллелограмма T_1T_2T_3T_4. То есть равны (и параллельны) диагоналям исходного четырехугольника.
Поскольку этот вывод не зависит от положения точки M, все доказано.
Конечно, само положение этого параллелограмма зависит от положения точки M.