на этих рис три задачи тема по которым они решаются называется четыре замечательные точки треугольника

1. Точка О - пересечение серединных перпендикуляров. Следовательно это центр описанной окружности и ОА=ОВ=ОС
Треугольник АОВ равносторонний с углами при основании 30°. Опустим высоту ОК на сторону АВ. Это тоже серединный перпендикуляр и АК=КВ=10.
Тогда ОА=АК/cos30° = 10/(√3/2)=20√3/3.
Ответ: ОА=20√3/3.
2. Точка О - пересечение серединных перпендикуляров. Это центр описанной окружности и RO=OP=20. ОК - катет против угла 30° и равен 10.
Ответ: ОК=10
3.Точка пересечения медиан в треугольнике - это центроид треугольника. Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Тогда МО=10, ОК=5, ЕО=12 и ОF=6.
Медианы МК и EF пересекаются под прямым углом. Значит по Пифагору
ЕК=√(ЕО²+ОК²)=√169=13. Тогда EN=26
MF=√(MО²+ОF²)=√136. Тогда MN=2√136
ME=√(EО²+ОM²)=√244.
Формула медианы в треугольнике М=(1/2)*√(2а²+2b²-c²), где а,b,c - стороны треугольника, причем с- сторона, на которую опущена искомая медиана.
Тогда медиана NP=(1/2)*√(2*26²+2*4*136-244)=3√61, а отрезок медианы
ОN=(2/3 )*NP=2√61.
Ответ: ON=2√61.