Пусть R радиус одного из 3-х одинаковых шаров, r радиус шара касающегося их и плоскости. Тогда 2R - сторона основания пирамиды (равносторонний Δ), (R+r) -длина боковой грани. Проекция вершины пирамиды на основание совпадает с точкой пересечения медиан (высот, биссектрис в Δ основания). Высота Δ основания есть √(4R²-R²)=R√3. Расстояние от вершины Δ основания до точки пересечения медиан (высот, биссектрис в Δ основания) есть 2/3 от всей длины медианы, т.е. 2/3*R√3.
Высота пирамиды есть (R-r). По теореме Пифагора (R-r)²=(R+r)²-( 2/3*R√3)².
R²-2Rr+r²=R²+2Rr+r²-4/9*3*R²;
4Rr=4/3*R²;
r=R/3=√3/3; r=√3/3 !!!
Обьем пирамиды есть 1/3(Δ основания * высота пирамиды):
Обьем пирамиды = 1/3(2R*R√3/2*(R-r))=1/3*2*3*√3/2*(√3-√3/3)=2.
Обьем пирамиды = 2 !!!