какой должна быть добротность контура Q, чтобы частота, при которой наступает резонанс токов, отличалась от частоты, при которой наступает резонанс напряжений, не более чем на 1% ?

Ответ

Автор - oleg16

Шаг 1. Выясняем резонансные частоты.
Колебательный контур описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка:
$q'' + 2 gamma q' + omega_0^2 q = e(t)$ , полученным из уравнения Кирхгофа введением обозначений: $gamma = frac{R}{2L}$ , $omega_0 = frac{1}{ sqrt{LC}}$ . Для выяснения резонансной частоты возьмем вынуждающую силу, изменяющуюся по закону косинуса. $e(t) = frac{E_0}{L} cos(omega t)$ .
Решение данного уравнения, согласно теории д.у., имеет вид:
$q = Ae^{-gamma t}cos(w_c t + phi) + B cos(omega t + psi)$ , где первое слагаемое - решение с.о.у. (оно затухает и нас не интересует), а второе - произвольное частное решение, которое ищется в указанном виде (в силу особенностей взятой вынуждающей силы). Подставим решение $q=B cos(omega t + psi)$ в уравнение и (с помощью, например, векторной диаграммы) получим $B = frac{E_0}{L} frac{1}{sqrt{(omega_0^2 - omega^2)^2 + 4 gamma^2 omega^2}}$ .
Зная, что $I(t) = q'(t) = - B omega sin(omega t +psi)$ и $U(t) = frac{q(t)}{C}$ . Получаем для амплитуды тока и напряжений следующие выражения: $U = frac{E_0}{LC sqrt{(omega_0^2 - omega^2)^2 + 4 gamma^2 omega^2}}$ и $I = frac{E_0 omega}{LC omega sqrt{((frac{omega_0}{omega})^2 - 1)^2 + 4gamma^2}} = frac{E_0}{LC sqrt{((frac{omega_0}{omega})^2 - 1)^2 + 4gamma^2}}$ .
Таким образом, решая квадратные уравнения в знаменателях, можно понять, что наибольшая амплитуда (резонанс) у напряжения достигается при частоте $omega_u = sqrt{omega_0^2 - 2gamma^2}$ , а у тока при $omega_i = omega_0$ .
Шаг 2. Что такое добротность
Как было написано ранее, за затухание собственных колебаний системы отвечает слагаемое $q = Ae^{-gamma t}cos(w_c t + phi)[tex] Условились считать, что колебание затухло, если его амплитуда уменьшилась в e раз. Очевидно, что это произойдёт за время [tex]tau = frac{1}{gamma}$ . За это время система совершила $N = frac{tau}{T_c} = frac{omega_c}{2 pi gamma}$ колебаний, где $omega_c = sqrt{omega_0^2 - gamma^2}$ - собственная частота колебаний системы (следует из решения д.у.). Так вот, величина $Q = pi N = frac{omega_c}{2 gamma}$ называется добротностью контура.
Шаг 3. Накладываем ограничения
$frac{omega_0 - sqrt{omega_0^2 - 2gamma^2} }{sqrt{omega_0^2 - 2gamma^2}} leq 0.01$
Решая это неравенство получаем: $frac{gamma^2}{omega_0^2} leq 0.009851975$ , отсюда $frac{omega_0}{2gamma} geq 5.04$
Шаг 4. Находим добротность
Вообще говоря, $Q = frac{omega_c}{2 gamma}$ и $frac{omega_0}{2gamma}[tex] разные величины, поэтому оценим погрешность, что бы приравнять их с чистой совестью)))) Для этого разложим выражение для добротности, с учётом определения частоты собственных колебаний по формуле Маклорена (в ряд). [tex]Q = frac{ sqrt{omega_0^2 - gamma^2}}{2gamma} = frac{omega_0}{2gamma} sqrt{1 - frac{gamma^2}{omega_0^2}} = frac{omega_0}{2gamma} ( 1 - frac{gamma^2}{2omega_0^2} + o(frac{gamma^2}{omega_0^2})) = frac{omega_0}{2gamma} - frac{gamma}{4omega_0} + o(frac{gamma}{omega_0}).$ Таким образом, отличие истинного решения от полученного примерно 0.03.
Ответ: $Q textgreater 5$

P.S. Что касается погрешности, то в принципе если повозиться, то, наверное, можно найти результат более точно, но это потребует лишней возни с алгеброй, которую я недолюбливаю.