При каком условии интеграл $intlimits{ frac{ax^2+bx+c}{x^3(x-1)^2} } , dx$ представляет собой рациональную функцию? Я не представляю что нужно мне доказать и что вообще за условие, условие для a,b и c?

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Матов

Положим $frac{nx^2+mx+v}{x^3} + frac{ux+y}{(x-1)^2} = frac{ax^2+bx+c}{x^3(x-1)^2}$
Открыв скобки , и приравняв соответствующие коэффициенты
$n+u=0 \ m-2n+y=0\ -2m+n+v=a \ m-2v=b \ v=c$
$m=2c+b \ n= a+2b+3c \ u=-a-2b-3c \ v=c \ y=2a+3b+4c$
$frac{(a+b*2+3c)*x^2+(2c+b)x+c}{x^3} + frac{ (-a-2b-3c)x+2a+3b+4c}{(x-1)^2}$ По отдельности
$frac{a+2b+3c}{x} + frac{2c+b}{x^2} + frac{c}{x^3}$ $+ frac{ (-a-2b-3c)x+2a+3b+4c}{(x-1)^2}$
По свойству интеграла
$intlimit {(f(x)+f_{1} +...+(x) + f_{n}(x)} )dx =intlimits{f_{1}(x)} , dx+intlimits { f_{2}(x)}dx+...+$
Получим
$frac{a+b+c}{1-x} - frac{b+2c}{x} - frac{c}{2x^2} + ln(1-x)(a+2b+3c) + lnx(a+2b+3c)+C$
Откуда следует , для того чтобы функция была рациональной
$1) a+2b+3c=0 \a+b+c textgreater 0 \ b+2c textless 0\ c textless 0 \\ 2)a+2b+3c=0 \ a+b+c textless 0 \b+2c textgreater 0\ c textless 0 \\ 3) a+2b+3c=0\a+b+c textless 0 \ b+2c textgreater 0\ c textgreater 0 \\$

Откуда решения
$1) \ a textgreater 0 ; b textgreater -frac{a}{2} ; c=frac{-a-2b}{3} \ a leq 0 b textgreater -2a ; c = frac{-a-2b}{3}$
$2) \ a textless 0 ; -frac{a}{2} textless b textless -2a ; c = frac{-a-2b}{3}$
$3) \ a textgreater 0 ; b textless -2a ; c=frac{-a-2b}{3} \ a leq 0 b textless -frac{a}{2} c=-frac{-a-2b}{3}$

При каком условии интеграл представляет собой рациональную функцию? Я не представляю что нужно мне доказать и что вообще за условие, условие для a,b и c?

Ответ

Проверено экспертом