В прямоугольной трапеции АВСD сторона АВ перпендикулярна основаниям АD и ВС. Точка К – середина стороны СD и АК – биссектриса угла САD. Найдите отношение АD : ВС, если АВ = 4 и АК = 6.

Для краткости записи AD = a; BC = b; CD = d; и пусть x = a/b;
Сразу ясно, что AC = AD = a; и CK перпендикулярно AK;
Площадь треугольника ACD равна одновременно 6*d/2 и 4*a/2; то есть
3*d = 2*a; d = 2*a/3; CK = d/2 = a/3;
Если провести из точки C перпендикуляр CF на AD, то треугольник CFD подобен треугольнику AKD (у этих прямоугольных треугольников общий угол)
Ясно, что DF = a - b; и получается
DK/AK = FD/CF; CF = AB = 4;
(a/3)/6 = (a - b)/4; (умножаем на 4 и делим на b)
2*x/9 = x - 1;
x = 9/7;
Проверяйте, а то я уже сплю :))