точка C середина AB прямая MN перпендикулярная AB проходит через точку C. Докажите что любая точка принадлежащая прямой MN находится на равном расстоянии от точек A и B

Пусть точка Д - произвольная точка, принадлежащая прямой MN.  Доказать,  АД=ВД.
Прямоугольные треугольники ΔАСД и ΔВСД равны по двум катетам ( СД - общий,  СА=СВ, т.к. точка С - середина отрезка АВ и MN перпендикулярна АВ).
В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны и наоборот,  значит АД=ВД.  Ч.т.д.