Исследовать функцию y=(x^2-1)/(x^2 +1) и построить схематично её график

Ответ

Проверено экспертом

Автор - xERISx

$y = frac{x^2-1}{x^2+1} =1 - frac{2}{x^2+1}$

1. Область определения D(y) = R

2. Область значений
x² ≥ 0
x² + 1 ≥1
   $0 textless frac{1}{x^2+1} leq 1 \ \ 0 textgreater frac{-2}{x^2+1} geq -2 \ \ 1 textgreater 1- frac{2}{x^2+1} geq -1$
Область значений E(y) = [-1; 1)

3. Функция четная
$f(-x) = 1 - frac{2}{(-x)^2+1} =1 - frac{2}{x^2+1} = f(x)$

4. Нули функции
y = 0    $1 - frac{2}{x^2+1} =0<br />$ $frac{x^2 + 1-2}{x^2+1} = 0$
$x^2 - 1= 0$
   $x=б1$

Функция пересекает ось OY в точке
x = 0 $y =1 - frac{2}{0^2+1} = -1$

5. y < 0 при x ∈ (-1; 1)
y > 0 при x ∈ (-∞; -1) ∪ (1; +∞)

6. Точки экстремума функции через производную

   $y' = (1 - frac{2}{x^2+1} )'=(- 2(x^2+1)^{-1})'= frac{4x}{(x^2+1)^2} =0$

x = 0; y = -1 - минимум функции (п.2)
Функция максимума не имеет.

7. Функция убывает на промежутке x ∈ (-∞;0]
Функция возрастает на промежутке x ∈ [0; +∞)