В трапеции расстояние от центра вписанной в нее окружности до концов боковой стороны равны 75 и 100 см а до концов меньшего основания 65 и 75 см . Найдите площадь трапеции

Сделаем и рассмотрим рисунок.
 Боковые стороны из центра вписанной в трапецию окружности видны под прямым углом. 
Треугольники АОВ и ДОС прямоугольные. 
По т.ПифагораАВ= √(ОВ²+ОА²)=125 см
Катет прямоугольного треугольника - среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией на нее этого катета. ВО²=ВМ*АВ 
75²=ВМ*125 
ВМ=45 ⇒ 
АМ=125-45=80 
Отрезки касательных из одной точки до точек касания равны.⇒ 
ВК=ВМ=45 
АН=АМ=80 
По т.Пифагора ОН=60 ( проверьте). 
ОК=ОН=60 
По т.Пифагора КС=25. ⇒ 
СТ=25. 
Радиус ОТ вписанной окружности - высота прямоугольного треугольника СОД. 
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла - среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу. 
ОТ²=СТ*ТД 
ТД=ОТ²:СТ=3600:25=144 
НД=ТД=144 
ВС=ВК+КС=45+25=70 
АД=АН+НД=80+144=224 
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.  
Высота трапеции равна диаметру вписанной в нее окружности. 
S= 1/2(BC+АД)*КН= 1/2(70+224)*120=8820