в квадрат ABCD со стороной a вписана окружность ,которая касается стороны CD в точке Е. Найти длину хорды, соединяющей точки, в которых окружность пересекается с прямой АЕ

Точки касания вписанной в квадрат окружности делят сторону квадрата пополам. Найдем АЕ по Пифагору. АЕ=√(a²+a²/4) = a√5/2.
Свойство касательной и секущей, проведенной из одной точки к окружности:
"Если из внешней точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью". В нашем случае: АР²=АЕ*АК или
(a²/4)=(a√5/2)*АК, отсюда АК=а/(2√5)=а√5/10.
КЕ=АЕ-АК=a√5/2 - а√5/10 = 4а√5/10 = 0,4√5*а.