Найдите все значения b ,при которых уравнение: 9^x+(b^2+6)3^x-b^2+16=0 не имеет корней

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Выполним замену $3^x=t$ причем $t>0.$ Получаем

$t^2+(b^2+6)t-b^2+16=0$

Дискриминант квадратного уравнения:

$(b^2+6)^2-4(16-b^2)=b^4+12b^2+36-64+4b^2=b^4+16b^2-36$

Если D < 0, то квадратное уравнение корней не имеет. , т.е.

$b^4+16b^2-36<0\ \ (b^4+16b^2+64)-100<0\ \ (b^2+8)^2<100$

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству

$-10<b^2+8<10~~~big|-8\ \ -18<b^2<2\ \ b^2<2\ \ -sqrt{2}<b<sqrt{2}$

При $b in Big(-sqrt{2};sqrt{2}Big)$ данное уравнение корней не будет иметь.

Теперь рассмотрим случай когда квадратное уравнение относительно t имеет корни, т.е. $b notinBig(-sqrt{2};sqrt{2}Big)$ , то нам нужны отрицательные корни, поскольку при замене $3^x=t$ это уравнение не будет иметь корень. По теореме Виета имеем:

$t_1+t_2=-b^2-6<0~~~~Rightarrow~~~~ b in mathbb{R}\ \ t_1cdot t_2=16-b^2>0~~~~Rightarrow~~~ -4<b<4$

С учетом существования корней имеем $b in (-4;4)$

Ответ: при $b in (-4;4)$

найдите все значения b ,при которых уравнение:
9^x+(b^2+6)3^x-b^2+16=0 не имеет корней

Ответ

Проверено экспертом

Ответы и объяснения

найдите все значения b ,при которых уравнение: 9^x+(b^2+6)3^x-b^2+16=0 не имеет корней

Ответ

Проверено экспертом

найдите все значения b ,при которых уравнение:
9^x+(b^2+6)3^x-b^2+16=0 не имеет корней