texleft sqrtx+sqrty=5 atop sqrtxy=4 right./tex

Ответ

Автор - Universalka

$left { {{sqrt{x}+sqrt{y}=5} atop {sqrt{xy}=4 }} right.\\$

По теореме Виета :

или √x =1 , а √y = 4 и тогда x = 1 , а y = 16

или √x = 4 , а √y = 1 и тогда x = 16 , а y = 1

Ответ : (1 ; 16) , (16 ; 1)

Автор - genius20

ОДЗ: $x>0, quad y>0.$

Сделаем замены $sqrt{x}=u, qquad sqrt y= v$ . Получим систему:

$begin{cases}u+v=5\uv=4 end{cases}$

Пользуясь обратной теоремой Виета, составим квадратное уравнение:

$z^2-5z+4=0\D=(-5)^2-4 cdot 4=25-16=9\sqrt{D}=3\z_1=dfrac{5+3}{2}=4, qquad z_2=dfrac{5-3}{2}=1$

Следовательно:

$u_1=4, qquad v_1=1\u_2=1, qquad v_2=4$

Вернёмся к исходным переменным. Сначала разберём первый случай с $u_1, ; v_1$ :

$sqrt{x}=4 quad Rightarrow quad x=16\sqrt y = 1 quad Rightarrow quad y=1$

Второй вариант, очевидно, будет симметричен (получится перестановкой переменных): $x=1, quad y=16.$

Ответ: (1; 16) и (16; 1).