Записати рівняння кола , центр якого знаходиться в точці С(1;-1) і пряма 5х-12у+9=0 є дотичною кола.

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Пусть уравнение окружности имеет вид $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$ , по условию, центр окружности имеет координаты (1;-1), подставляем

$(x-1)^2+(y+1)^2=R^2$ (1)

Из уравнения прямой получим $y=dfrac{5}{12}x+dfrac{9}{12}$ .

Подставляем в уравнение (1), получим

$(x-1)^2+left(dfrac{5}{12}x+dfrac{9}{12}+1right)^2=R^2\ \ dfrac{169}{144}x^2-dfrac{13}{24}x+4.0625-R^2=0$

Прямая 5x - 12 y + 9 = 0 и окружность имеют одну общую точку. Поэтому дискриминант последнего квадратного уравнения нужно приравнять к нулю (имеет один корень).

$left(-dfrac{13}{24}right)^2-4cdotdfrac{169}{144}Big(4.0625-R^2Big)=0~~~~Bigg|cdot 24^2\ \ 169+16cdot169(4.0625-R^2)=0\ \ 169(1+65-16R^2)=0\ \ 64-16R^2=0~~~|:16\ \ 4-R^2=0\ \ R^2=4\ \ R=pm2$

Отрицательное значение R = -2 нам не нужен. Подходит R = 2.

Искомое уравнение окружности: $(x-1)^2+(y+1)^2=4$