Определить сумму коэффициентов a и b линейной убывающей функции f(x)=ax+b, если f(f(1/a))=b и f(f(b))=b.

Ответ

Проверено экспертом

Автор - ArtemCoolAc

Вложенность функций - не проблема)

$$fbigg(frac{1}{a}bigg)=acdot frac{1}{a}+b=1+b=b+1;$

$f(b)=acdot b+b$

$$fbigg(fbigg(frac{1}{a}bigg)bigg)=f(b+1)=acdot (b+1)+b=b Rightarrow boxed{acdot (b+1)=0}$

Вот уже получили какое-то соотношение. Вспомним условие: $f(x)$ - линейная убывающая функция, по условию её угловой коэффициент равен $a$ , раз функция убывающая, то $a<0$ , то есть $a neq 0$ , то есть мы можем поделить на $a$ без проблем.

$acdot (b+1)=0 bigg | : a neq 0 Rightarrow b+1=0 Rightarrow boxed{b=-1}$

Вот и коэффициент $b$ нашли. Теперь надо найти второй, для этого есть второе равенство.

$f(f(b))=f(acdot b +b)=acdot (acdot b +b)+b=acdot bcdot (a+1)+b=b \ acdot bcdot (a+1)=0$

Так как $b=-1$ , то есть $b neq 0$ , то можем поделить на него без проблем.

$$acdot b cdot (a+1)=0 bigg | : b neq 0Rightarrow acdot (a+1)=0 Rightarrow left [ {{a=0} atop {a=-1}} right.$

Правда, снова вернемся к тому, что функция неубывающая. То есть $a<0$ , значит, первое значение не подойдет.

То есть получаем наши коэффициенты:

$$left { {{a=-1} atop {b=-1}} right.$

То есть функция имеет вид: $boxed{f(x)=-x-1}$

Ответ: $f(x)=-x-1$