X^2+(1/x^2)-x-(1/x)-4=0 — вопрос №2126643

Ответ

Проверено экспертом

Автор - dtnth

$x^2+frac{1}{x^2}-x-frac{1}{x}-4=0$
ОДЗ: $x^2 neq 0; x neq 0$
$x neq 0$
введем замену
$t=x+frac{1}{x}; |t| geq 2$

(небольшое пояснение: если x>0;
$frac{(x-1)^2}{x} geq 0;$
<=>
$frac{x^2-2x+1}{x} geq >0;$
$x+frac{1}{x} geq 2$
аналогично если x<0: Получим
$x+frac{1}{x} leq -2$
поєтому $|x+frac{1}{x}| geq 2$
$t geq 2$ )

тогда $x^2+frac{1}{x^2}=x^2+2+(frac{1}{x})^2-2=x^2+2*x*frac{1}{x}+(frac{1}{x})^2-2\\(x+frac{1}{x})^2-2=t^2-2$
$x^2+frac{1}{x^2}=t^2-2$
перепишем уравнение
$t^2-2-t-4=0$
$t^2-t-6=0$
$(t-3)(t+2)=0$
$t+2=0;t_1=-2$
$t-3=0;t_2=3$
возвращаемся к замене
$x+frac{1}{x}=-2$
$x^2+2x+1=0$
$(x+1)^2=0$
$x_{1,2}=-1$

$x+frac{1}{x}=3$
$x^2-3x+1=0$
$D=(-3)^2-4*1*1=9-4=5$
$x_{3,4}=frac{3^+_-sqrt{5}}{2}$
ответ: -1 (или -1 кратности 2), $frac{3^+_-sqrt{5}}{2}$