Докажите тождество: sin2t/1+cos2t*cost/1+cost=tgt/2 sin2t/1+cos2t*cost/1+cost*cos1/2/1+cost t/2=tg1/4

Ответ

Проверено экспертом

Автор - xERISx

$1)~boldsymbol{dfrac{sin(2t)}{1+cos(2t)}cdotdfrac{cos t}{1+cos t}=}dfrac{2sin tcos t}{2cos^2t}cdotdfrac{cos t}{1+cos t}=\\\~~~=dfrac{sin t}{1+cos t}=dfrac{2sin frac t2cdotcos frac t2}{2cos^2 frac t2}=dfrac{sin frac t2}{cos frac t2}=bold{ text{tg }frac t2}~~~blacksquare$

2) В условии в третьей и четвёртой дроби исправлены опечатки

$boldsymbol{dfrac{sin(2t)}{1+cos(2t)}cdotdfrac{cos t}{1+cos t}cdotdfrac{cos frac t2}{1+cos frac t2}=}\\\=dfrac{2sin tcos t}{2cos^2t}cdotdfrac{cos t}{1+cos t}cdotdfrac{cos frac t2}{1+cos frac t2}=$

$=dfrac{sin t}{1+cos t}cdotdfrac{cos frac t2}{1+cos frac t2}=dfrac{2sin frac t2cos frac t2}{2cos^2 frac t2}cdotdfrac{cos frac t2}{1+cos frac t2}=\\\=dfrac{sin frac t2}{1+cos frac t2}=dfrac{2sin frac t4cos frac t4}{2cos^2 frac t4}=dfrac{sin frac t4}{cos frac t4}=bold{ text{tg }frac t4}~~~blacksquare$

=======================================

Использованы формулы двойного аргумента

$sin (2alpha )=2sin alpha cos alpha \cos(2alpha )=2cos^2alpha -1\1+cos(2alpha )=2cos^2alpha$

Ответ

Автор - takushnir

1) (sin(2t))/(1+cos(2t)) *((сost)/(1+cos(t)) =

(((2sint)*(cost))/(2cos²t))*(cost/(2cos²(t/2)))=(tgt)*cost/(2cos²(t/2))=

(sint)/(2cos²(t/2))=(2sin(t/2))*cos(t/2)/(2cos²(t/2))=tg(t/2)

Bоспользовался дважды формулой (1+cosα)=2cos²α ; формулой синуса двойного аргумента sin2α=2(sinα)*(cosα) и tgα=sinα/cosα.

2) Докажем второе тождество, используя те же формулы.

((sin(2t))/(1+cos(2t)))*(cost/(1+cost))*(cos(t/2))/(1+cos(t/2))=tg(t/4)

1) упростим ((sin(2t))/(1+cos(2t)))=(2sint)(сost)/(2cos²t)=sint/(cost)=tgt

2) умножим (tgt)*(cost/(1+cost))=(sint)/(2cos²(t/2))=

(2sin(t/2))*(cos(t/2))/(2cos²(t/2))=tg(t/2)

3) умножим (tg(t/2))*((cos(t/2))/(1+cos(t/2))=sin(t/2)/(2cos²(t/4)=

(2sin(t/4)*(cos(t/4))/(2cos²(t/4))=tg(t/4)

Требуемое доказано.

Докажите тождество:
sin2t/1+cos2tcost/1+cost=tgt/2
sin2t/1+cos2tcost/1+cost*cos1/2/1+cost t/2=tg1/4

Ответ

Проверено экспертом

Ответ

Ответы и объяснения