1. а) Вектор a{3;-2;-4}, вектор b{-2;4;-4}. Вектор 4a{12;-8;-16}, вектор 2b{-4;8;-8}. Вектор c{16;-16;-8}. Вектор d{8;-8;-4}. (так как умножение вектора на число есть умножение его координат на это число)
б) Вектор 2c{32;-32;-16}, вектор 3d{24;-24;-12}.
Вектор (2c-3d){8;-8;-4}, модуль|2c-3d| = √(64+64+16) = √144 = 12. (модуль вектора равен корню из суммы квадратов его координат).
2. Точки А(2;6;-2), B(-4;5;-4), C(2;-1;2).
а) Вектор ВА{6;1;2}, вектор BC{6;-6;6}. Вектор BD=BA+BC или
BD{12;-5;8}. Зная координаты вектора BD и координаты его начала, имеем координаты его конца, то есть вершины D(8;0;4) - как сумму координат вектора и точки его начала.
б) Равноудаленная от В и С точка на оси абсцис - это точка Е(х;0;0). Тогда модули векторов ВЕ и СЕ должны быть равны, то есть модули векторов BE{x+4;y-5;z+4} и CE{x-2;y+1;z-2} равны. Равны и их квадраты. Значит (х+4)²+25+16 = (х-2)²+1+4, отсюда Х=-4. И это ответ.
3. Точки А(-3;2;2), B(-1;-8;13), C(-15;-13;11) и D(-17;-3;0).
Вектор ВА{-2;10;-11}, вектор BC{-14;-5;-2}. Если их скалярное произведение равно 0, значит они перпендикулярны.
ВА*ВС=х1*х2+y1*y2+z1*z2 = 28-5-+22 =0
Вектор АВ{2;-10;11}, вектор AD{-14;-5;-2}. Если их скалярное произведение равно 0, значит они перпендикулярны.
AB*AD=х1*х2+y1*y2+z1*z2 = 28-5-+22 =0. Итак, АВ перпендикулярен ВС и АD, а модули векторов ВС и AD равны (так как их координаты равны). Следовательно, АВСD- прямоугольник.