22 балла!!!Сумма корней уравнения 2cosx*cos2x+cosx=2cos2x+1 принадлежащих промежутку(-3pi;3pi) равна:

Ответ

Проверено экспертом

Автор - kalbim

$(2cosx*cos2x-2cos2x)+(cosx-1)=0$ - сгруппировали
$2cos2x*(cosx-1)+(cosx-1)=0$
$(2cos2x+1)*(cosx-1)=0$ - вынесли общий множитель за скобки

1) $2cos2x=-1$
$cos2x=-0.5$
$2x= +-frac{2pi }{3}+2 pi k$
$x= +-frac{pi }{3}+pi k$ , k∈Z

2) $cosx=1$
$x=2 pi k$ , k∈Z

Сделаем выборку корней:
1) $-3 pi <2 pi k<3 pi$
$-1.5<k<1.5$
$k=-1,0,1$
$x_{1}=-2 pi$
$x_{2}=0$
$x_{3}=2 pi$
$x_{1}+x_{2}+x_{2}=2 pi +0-2 pi =0$

2) $-3 pi <frac{pi }{3}+pi k<3 pi$
$-3-frac{1}{3}<k<3-frac{1}{3}$
$-frac{10}{3}<k<frac{8}{3}$
$k=-3,-2,-1,0,1,2$
При k=-2, -1, 1, 2 корни в сумме дадут 0.
k=0, $x_{4}=frac{pi }{3}$
k=-3, $x_{5}=frac{pi }{3}-3 pi=-frac{8pi }{3}$

3) $-3 pi <-frac{pi }{3}+pi k<3 pi$
$-3+frac{1}{3}<k<3+frac{1}{3}$
$-frac{8}{3}<k<frac{10}{3}$
$k=-2,-1,0,1,2,3$
При k=-2, -1, 1, 2 корни в сумме дадут 0.
k=0, $x_{6}=-frac{pi }{3}$
k=3, $x_{7}=-frac{pi }{3}+3 pi=frac{8pi }{3}$

$x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}=frac{pi }{3}-frac{8pi }{3}-frac{pi }{3}+frac{8pi }{3}=0$

Ответ: сумма корней из указанного промежутка равна 0