Помогите найти интегралы пошаговое решение пожалуйста

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Wintersun849

1) $int{ frac{x^3}{x^8 - 2} } , dx = int{ frac{x^3}{(x^4 - sqrt{2})(x^4 + sqrt{2}) } , dx = frac{1}{4} int{ frac{d(x^4 - sqrt2)}{(x^4 - sqrt{2})(x^4 + sqrt{2}) } ,$

$x^4 - sqrt{2} = t$

$frac{1}{4} int frac{dt}{t(t + 2 sqrt{2}) } , =frac{1}{8 sqrt{2} } int frac{dt}{t} - frac{1}{8 sqrt{2} } int frac{dt}{t + 2 sqrt{2} } = frac{1}{8 sqrt{2} } ln|t| - frac{1}{8 sqrt{2} }ln|t+2sqrt{2}|+c$ $= frac{1}{8 sqrt{2} } ln|x^4 - sqrt{2}| - frac{1}{8 sqrt{2} }ln|x^4+sqrt{2}| + C, C = const.$

На сумму элементарных дробей разбивали методом неопределенных коэффициентов:
$frac{1}{t(t+2sqrt{2})} = frac{A}{t} + frac{B}{t+2sqrt{2}}$

Чтобы найти коэффициенты нужно решить систему:
$left { {{A + B= 0} atop {2sqrt{2}A = 1}} right.$

2) $int frac{dx}{xlnxln(lnx)} = int frac{d(lnx)}{lnxln(lnx)} = int frac{dt}{tlnt} = int frac{d(lnt)}{lnt} = int frac{dy}{y} = ln|y| + c =$ $= ln|ln|t|| + c = ln|ln|ln|x||| + C, C = const.$

3) $I = int sqrt{a^2 + x^2}dx$
Применим формулу интегрирования по частям:
$u = sqrt{a^2 + x^2} \ du = frac{x}{ sqrt{a^2 +x^2} } dx \ dv = dx\ v = x$
Получим:
$uv - int vdu = x sqrt{a^2 +x^2} - int frac{x^2}{ sqrt{a^2 +x^2} }dx = x sqrt{a^2 +x^2} - int frac{x^2 + a^2 - a^2}{ sqrt{a^2 +x^2} }dx =$ $= x sqrt{a^2 +x^2} - int frac{x^2 + a^2}{ sqrt{a^2 +x^2} }dx + a^2 int frac{dx}{ sqrt{a^2 +x^2} }=$ $x sqrt{a^2 +x^2} - int sqrt{a^2+x^2}dx+a^2ln|x+ sqrt{a^2+x^2}| + c.$
Получили следующее:
$I = x sqrt{a^2 +x^2} - I+a^2ln|x+ sqrt{a^2+x^2}| + c.$
$2I = x sqrt{a^2 +x^2} +a^2ln|x+ sqrt{a^2+x^2}| + c.$
$I = frac{1}{2} (x sqrt{a^2 +x^2} +a^2ln|x+ sqrt{a^2+x^2}| + c)$
4) Такой же интеграл появлялся в решении третьего.