Определить число корней уравнения и найти значение одного из них: x^3+4x+6=0

Ответ

Автор - iknowthatyoufeelbro

Ответ:

$x=sqrt[3]{-3+frac{sqrt{921}}{9}}+sqrt[3]{-3-frac{sqrt{921}}{9}}$

Пошаговое объяснение:

Воспользуемся формулой Кардано. Уравнение x³+4x+6=0 уже имеет нулевой коэффициент при x², поэтому замену переменной делать не нужно.

p=4, q=6

Определим величину Q:

$Q=(frac{p}{3})^3+(frac{q}{2})^2\Q=(frac{4}{3})^3+(frac{6}{2})^2=frac{64}{27}+9=frac{307}{27}$

Поскольку Q > 0, то уравнение имеет 1 вещественный корень и два сопряженных комплексных корня.

Вычислим параметры α и β:

$alpha=sqrt[3]{-frac{q}{2}+sqrt{Q}}=sqrt[3]{-frac{6}{2}+sqrt{frac{307}{27}}}=sqrt[3]{-3+frac{sqrt{921}}{9}}\beta=sqrt[3]{-frac{q}{2}-sqrt{Q}}=sqrt[3]{-frac{6}{2}-sqrt{frac{307}{27}}}=sqrt[3]{-3-frac{sqrt{921}}{9}}$

Вычислим вещественный корень по формуле:

$x=alpha+beta=sqrt[3]{-3+frac{sqrt{921}}{9}}+sqrt[3]{-3-frac{sqrt{921}}{9}}$