В треугольнике две высоты равны 12 и 20. Найдите максимальное возможное целое значение длины третьей высоты.

Ответ

Проверено экспертом

Автор - cos20093

Увы, я поторопился :)))
Было выложено такое решение. 2*S = a*12 = b*20 = c*h;
b = (3/5)*a; минимальное значение c = a - b = (2/5)*a; откуда максимальное значение h = = (5/2)*12 = 30;
но
Это не может быть ответом, потому что при c = a - b; S = 0; и соотношения типа 2*S = a*12 = b*20 теряют смысл.
Однако значение h = 29 может быть реализовано. При этом треугольник будет подобен треугольнику со сторонами 1, 3/5, 12/29; и надо просто так подобрать коэффициент подобия, чтобы высота к стороне, которая соответствует 1, равнялась бы 12. Вычислять этот коэффициент нет смысла, потому что вопрос в задаче - найти максимальное ЦЕЛОЕ значение h, а следующее ЦЕЛОЕ значение - 30.

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Матов

пусть высота равна $x$ , стороны $a;b;c$
$12a=20b=x*c \<br /> frac{12a}{x} ; frac{12a}{20} ; a$
По теореме косинусов
$a^2 + frac{144*a^2}{400 }- fac{24*a^2}{20} * cosa = frac{144*a^2}{x^2}\<br /> cosa= frac{17}{15} - frac{120}{x^2}$

теперь чем острее угол тем больше высота
$frac{17}{15} - frac{120}{x^2}=1\<br /> x=30$
значит он будет равен $29$
при этом , угол будет примерно равен $7а$