В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС биссектриса угла BAD проходит
через середину М стороны CD. Известно, что АВ = 5, АМ = 4. Найдите длину
отрезка ВМ.

Пусть продолжение AM за точку M пересекает BC (точнее, продолжение этого отрезка за точку С) в точке K.
Тогда
1) Треугольник ABK - равнобедренный, так как ∠BKA = ∠KAD = ∠KAB; то есть BK = AB = 5;
2) AM = MK; тут можно сослаться на теорему Фалеса, а можно просто сказать, что ΔAMD = ΔKMC;  поскольку есть пара равных сторон MD = MC и углы при равных сторонах тоже равны (из за параллельности оснований трапеции).
То есть BM - медиана к основанию у равнобедренного треугольника ABK.
Поэтому BM перпендикулярно AM, и BM = 3; (получился "египетский" треугольник).