Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является правильный треугольник со стороной , равной боковому ребру призмы и равной 13. В призме проведены два сечения. Одно из них проходит через ребро ВС и вершину А1, а другое - через ребро СС1 и середину ребра AB. Найдите длину отрезка, по которому пересекаются эти сечения.

"Совершенно неожиданно" длина этого отрезка тоже равна 13.
Если обозначить середину AB как M, а середину A1B1 как M1, то второе сечение - это плоскость CMM1C1. Прямые A1B и MM1 пересекаются в центре грани AA1B1B, которую я обозначу K. Нужный отрезок - это CK.
Вычислить длину CK можно кучей способов, самое "техническое" решение такое: MK = 13/2; CM = 13√3/2; откуда CK = 13;
Однако такое любопытное наблюдение :) Если взять пирамиду AKBC, отразить её зеркально относительно ACB, то получится правильная четырехугольная пирамида (у которой, кстати, сечение ABC - правильный треугольник). Поэтому CK = CB = CA....