Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения 2cos2a-3sina

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

$2cos 2alpha-3sinalpha=2cdot (1-2sin^2alpha)-3sinalpha=-4sin^2alpha-3sinalpha+2=\ \ \ =-4left(sinalpha+dfrac{3}{8}right)^2+dfrac{41}{16}$

Функция y = sinx изменяется в пределах от -1 до 1. Следовательно

$-1leqsin alphaleq 1~~~bigg|+dfrac{3}{8}\ \ -dfrac{5}{8}leq sinalpha+dfrac{3}{8}leqdfrac{11}{8}$

Возведя все части двойного неравенств в квадрат, получим

$0leqleft(sinalpha +dfrac{3}{8}right)^2leq dfrac{121}{64}~~~~~bigg|cdot(-4)$

$-dfrac{121}{16}leq -4left(sin alpha+dfrac{3}{8}right)^2leq 0~~~~bigg|+dfrac{41}{16}\ \ \ -5leq -4left(sinalpha +dfrac{3}{8}right)^2+dfrac{41}{16}leq dfrac{41}{16}$

Отсюда наибольшее значение выражения равно 41/16, а наименьшее значение: -5.