Найти объемы тел, образованных при вращении вокруг оси Ox и оси Oy плоской фигуры, ограниченной линиями y=3+2x-x^2, y=x+1

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Exponena

$y_{1}(x)=-x^2+2x+3$ (1)
$y_{2}(x)=x+1$ (2)
Прежде всего построим графики заданных функций. (См рис1.FIGURE.png)
Далее. Найдем точки пересечения графиков. Из картинки видно, что точки пересечения (Обозначим их А0 и А2) имеют координаты А0(-1; 0) и А2(2; 3).
Убедиться в этом можно, подставив уравнения (1) и (2) поочередно координаты точек и проверить, обращаются ли они в верные равенства.
строго говоря, для нахождения координат точек пересечения в нашем случае решается система уравнений (1), (2):
$y=-x^2+2x+3$ (1)
$y=x+1$ (2)
Два уравнения, два неизвестных.

Приравнивая правые части (1), (2) получаем одно уравнение с одним неизвестным:
$-x^2+2x+3=x+1$
Приводим подобные слагаемые.
$-x^2+2x+3-x-1=0$
$-x^2+x+2=0$ (3)
Решаем полученное уравнение (3)
$D=1-4*(-1)*2=1+8=9$
$x_{1,2}= frac{-1 pm sqrt{9} }{-2} = frac{-1 pm 3 }{-2}$
$x_{1}=-1$
$x_{2}=2$
Соответствующие им значения y1, y2 можно найти, подставив например значения x1, x2 в уравнение (2)
$y_{1}=x_{1}+1=-1+1=0$
$y_{2}=x_{2}+1=2+1=3$
Вот мы и получили две точки А0(x1; y1), A2(x2, y2)
$A_{0}(-1; 0)$
$A_{2}(2; 3)$
Они нам понадобятся при простановке пределов интегрирования.
Так теперь Разберемся, что получится, если нашу фигуру вращать вокруг
оси OX. Смотрим риснуок 2 (FIGURE_OX.png), На котором изображено поперечное сечение, полученной фигуры вращения. Такая "чаша", со стенками переменной толщины.
В сечении наша исходная фигура (параболический сегмент) зеркально отразилась относительно оси OX. Точки с координатами (x, y) отразились
в точки (x, -y). Соответственно прямая y=x+1 отразилась в y=-x-1, а парабола $y=-x^2+2x+3$ в параболу $y=x^2-2x-3$ .
Объем "чаши" $V_{cp}$ будет равен:
$V_{cp}=V_{p}-V_{c}$ (4)
где
$V_{p}$ объем фигуры ограниченной, параболами и плоскостью перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через прямую $A_{1} A_{2}$ .
$V_{c}$ ? , объем конуса ограниченного прямыми и той же плоскостью проходящей через $A_{1} A_{2}$

Если нашу "чашу" без выемки конуса "нашинковать" плоскостями перпендикулярными плоскости рисунка и при этом параллельными плоскости основания конуса, мы разбиваем ее на множество мелких
("блинов") элементарных цилиндров толщиной dx. Объем каждого такого цилиндра будет равен:
$dVp= pi *(y(x))^2dx$
Суммарный объем будет равен сумме объемов элементарных цилиндров.
Переходя к пределу при dx⇒0 получаем:
$Vp= intlimits^{x_{2}}_{x_0} { pi (y(x))^2} , dx$ (5)
$Vp= intlimits^{x_{2}}_{x_0} { pi (y(x))^2} , dx= pi intlimits^{2}_{-1} {(-x^2+2x+3)^2} , dx=$
$=pi intlimits^{2}_{-1} {(x^4-2x^3-3x^2-2x^3+4x^2+6x-3x^2+6x+9)} , dx$
$=pi intlimits^{2}_{-1} {(x^4-4x^3-2x^2+12x+9)} , dx$ (6)
$pi int{(x^4-4x^3-2x^2+12x+9)} , dx=pi ( frac{x^5}{5}- frac{4x^4}{4}- frac{2x^3}{3} + frac{12x^2}{2} +9x )=$
$=pi ( frac{x^5}{5}- x^4- frac{2x^3}{3} + 6x^2 +9x )=pi x( frac{x^4}{5}- x^3- frac{2x^2}{3} + 6x +9 )$ (7)
С учетом (7) интеграл (6) равен:
$(6)=pi 2( frac{2^4}{5}- 2^3- frac{2*2^2}{3} + 6*2 +9 )-$ $-pi *(-1)( frac{(-1)^4}{5}- (-1)^3- frac{2*(-1)^2}{3} + 6*(-1) +9 )=$ $pi ( frac{32+1}{5}-(16-1)- frac{2}{3}(8+1)+ (24-6)+(18+9) )=$ $pi ( frac{33}{5}-15-6+18+27 )= pi ( frac{33}{5}+24 )=pi ( frac{33+120}{5} )= pi frac{153}{5}$ (8)

Аналогично объем конуса равен
$Vc= pi intlimits^2_{-1} {(x+1)} , dx$ (9)
Проделывая вычисления находим:
$Vc= pi intlimits^2_{-1} {(x+1)} , dx= frac{9 pi }{2}$ (10)
Тогда с учетом (4), (8), (10) искомый объем равен:
$V_{cp}= pi ( frac{153}{5}- frac{9}{2} )= pi ( frac{306-45}{10} ) =pi ( frac{261}{10} ) approx 82,00$

Вкратце по 2му пункту смотрите рисунок 3 (FIGURE_OY). Тут наша фигура получилась более "хитрая". Придется, дробить область на части

Сам объем будем искать в виде такой суммы:
Объем
усеченного "криволинейного конуса" (сечение А9, А1, А2, А8) - Объем
конуса (А9, А0, А1) + объем ус. конуса(А2, А3, А5, А7) + объем
"криволинейного конуса"(А3, А4, А6, А7) - объем "криволинейного конуса" (А5, А4, А6).
$V=V_{A9,A1,A2,A8}-V_{A9,A0,A1}+V_{A2,A3,A5,A7}+V_{A3,A4,A6,A7}-V_{A5,A4,A6}$
$V_{A9,A1,A2,A8}= -pi intlimits^{y_{8}}_0 {(x(y))^2} , dy= -pi intlimits^{y_{8}}_0 {(1- sqrt{4-y} )^2} , dy=*$

$V_{A9,A0,A1}= -pi intlimits^{1}_0 {(x(y))^2} , dy= -pi intlimits^{1}_0 {(1-y )^2} , dy=**$

$V_{A2,A3,A7,A8}= -pi intlimits^{3}_{y_{8}} {(x(y))^2} , dy= -pi intlimits^{3}_{y_{8}} {(y-1 )^2} , dy=***$

$V_{A3,A4,A6,A7}= -pi intlimits^{4}_3 {(x(y))^2} , dy= -pi intlimits^{4}_3 {(1+ sqrt{4-y} )^2} , dy=****$

$V_{A5,A4,A6}= -pi intlimits^{4}_3 {(x(y))^2} , dy= -pi intlimits^{4}_3 {(1- sqrt{4-y} )^2} , dy=*****$

Черт возьми! >5000 символов не лезет. Но надеюсь, принцип ясен.