найти интервал сходимости (-R;R) степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала, т.е при x=R и при x=-R
$5 x^{n} /( 3^{n} sqrt{n} )$

Ответ

Проверено экспертом

Автор - nafanya2014

$R= lim_{n to infty} frac{a_n}{a_{n+1}}=lim_{n to infty} frac{ frac{5}{3 ^{n} sqrt{n} } }{ frac{5}{3 ^{n+1} sqrt{n+1} } }= lim_{n to infty} frac{3 sqrt{n+1} }{ sqrt{n} }=3$

При х=3 получим числовой ряд с общим членом:
$a_n= frac{5cdot 3 ^{n} }{ 3^{n} sqrt{n} }= frac{5}{ sqrt{n} }$

Такой ряд расходится, так как степень у переменной n равна 1/2<1

При x=-3 получим числовой ряд с общим членом:
$a_n= frac{5cdot (-3) ^{n} }{ 3^{n} sqrt{n} }= frac{5cdot (-1)^n}{ sqrt{n} }$
Это знакочередующийся ряд. Он сходится по признаку Лейбница
Общий член ряда монотонно убывает по модулю и стремится к нулю