Вычислить двойной интеграл,ограниченного заданными линиями: ∫ ∫ по области D int x dx dy, D: y=x+2, y=x^2

Ответ

Проверено экспертом

Автор - nafanya2014

Найдем абсциссы точек пересечения графиков
х+2=х²
х²-х-2=0
х₁=-1 х₂=2
Это пределы интегрирования внешнего интеграла по переменной х
Второй интеграл по переменной у, тогда подинтегральная переменная х представляет для внутреннего интеграла константу , её можно вынести за знак внутреннего интеграла.
первая линия (линия входа в область по оси у): парабола у=х² . Это нижний предел внутреннего интеграла по переменной у,
вторая линия (линия выхода из области): прямая у=х+2. Это верхний предел внутреннего интеграла по переменной у
$= intlimits^2_{-1} {x} , dx intlimits^{x+2}_{ x^{2} } {} , dy= intlimits^2_{-1} {xcdot(y)^{x+2}_{ x^{2} }} , dx = intlimits^2_{-1} {xcdot(x+2- x^{2} ) , dx =$
$\ \ = intlimits^2_{-1} ( x^{2} +2x- x^{3}) dx =( frac{ x^{3} <br /> }{3}+ x^{2} - frac{ x^{4} }{4}) ^2_{-1}= \ \ = frac{8}{3}+4-4-(- <br /> frac{1}{3}+1- frac{1}{4})=2 frac{1}{4}$