Какую наименьшую площадь может иметь прямоугольный треугольник,
катеты которого лежат на координатных осях, а гипотенуза является отрезком
касательной к графику функции f (x) = 2x²-6 ?

Ответ: 9

Объяснение:

Если катеты лежат на осях, то координаты вершин А (0;у) и В (х;0)

Ответ: 8,46 см²

Объяснение: y=2x²-6 парабола с вершиной в точке(0;-6) и корнями (2;-2)

проведем прямую через точки (2;0) и (0;-6)

-2y=-6x+12

y=3x-6

теперь найдем уравнение касательной к параболе

2x²-6=3x-n (тк у параболы и касательной одна общая точка , то дискриминант будет равен 0)

2x²-3x-6+n=0

D=0⇒b²-4ac=0

9-4*(n-6)*2=0

9+48-8n=0

8n=57

n=57/8⇒ уравнение касательной

у=3x-57/8 она пересекает ось OX в точке

3x-57/8=0

3x=57/8

x=19/8

ось OY пересекает в точке

y=-57/8

тогда наименьшая площадь прямоугольного треугольника ограниченного осями OX и OY и касательной к параболе y=2x²-6

S=(x*y)/2=(19/8*57/8)/2=1083/128=8.46 см²