1. У прямой правильной призмы в три раза уменьшили сторону квадратного основания и в два раза уменьшили высоту. Определить, во сколько раз изменился ее объем.

2. Дана правильная четырехгранная пирамида. Сторона основания равна 8. Апофема равна 12. Найти угол между боковым ребром и высотой пирамиды.

Ответ

Проверено экспертом

Автор - wangross

1) Обозначим сторону основания (квадрата) буквой $a$ , $h$ - высоту.
$V$ призмы= $S$ осн. $*h$
В нашем случае: $V=a^2h$

После уменьшения величин:

$V=( frac{a}{3} )^2* frac{h}{2} = frac{a^2}{9} *frac{h}{2}= frac{a^2h}{18}$

Сравним былой объем и ставший:

$frac{V_1}{V_2} = frac{a^2h}{ frac{a^2h}{18} } =18$

Ответ: Объем уменьшился в $18$ раз

2) Смотрим рисунок.
Рассмотрим Δ $SHC:$
$SC= sqrt{144+16} = sqrt{160} =4 sqrt{10}$ - по теореме Пифагора.

Рассмотрим Δ $ABC:$
$AC= sqrt{8^2+8^2} = sqrt{8^2*2} =8 sqrt{2} \ OC=4 sqrt{2}$

Рассмотрим Δ $SOC:$
$SO= sqrt{(4 sqrt{10})^2-(4 sqrt{2} )^2 } = sqrt{160-32} = sqrt{128} = sqrt{64*2} =8 sqrt{2}$
$tg alpha = frac{OC}{SO} = frac{4 sqrt{2} }{8 sqrt{2} } = frac{1}{2} \ \ alpha =arctg frac{1}{2}$

Ответ: $arctg frac{1}{2}$

Ответ

Проверено экспертом

Автор - mukus13

V=Sосн*h
пусть x - сторона основания, h - высота
V=x²*h
$frac{x}{3}$ - новая сторона
$frac{h}{2}$ - новая высота
$V_{1} = frac{x^2}{9}* frac{h}{2} = frac{x^2*h}{18}$
$frac{V}{ V_{1} } = {x^2*h}: frac{x^2*h}{18} =18$
Ответ в 18 раз

№ 2
<OSC - искомый
OS - высота
ABCD - квадрат, значит AB=8
OK=1/2*8=4
SOK - прямоугольный по теореме Пифагора
SO= $sqrt{12^2-4^2}= sqrt{144-16}=8 sqrt{2}$
OC=4√2
$frac{OK}{SO}= tg textless OSK$
$frac{4sqrt{2}}{8 sqrt{2} } =tg textless OSK$
< OSK= arctg $frac{1}{2 } }$