В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD. Прямая, проведенная через точку D перпендикулярно к AD, пересекает прямую АС в точке Е. Точки М и К — основания перпендикуляров, проведенных из точек В и D к прямой АС. Найдите МК, если АЕ = а.

Если О - середина AE, то ∠DOK=∠DCK. Действительно, ∠DOK=2∠DAK,
т.к. О - середина гипотенузы тр-ка ADE. С другой стороны ∠DCK=∠BAC=2∠DAK, т.к. ABC - равнобедренный и AD - биссектриса. Таким образом, DK - высота и медиана равнобедренного тр-ка ODC. Обозначим OK=KC=x. Тогда
AO=a/2=AC-OC=2AM-2x, откуда AM-x=a/4. Итак,
MK=AK-AM=(AO+x)-AM=AO-(AM-x)=a/2-a/4=a/4.