Из вершины А треугольника ABC проведены перпендикуляры AM и АК к биссектрисам внешних углов этого треугольника при вершинах B и С. Докажите, что отрезок МК равен половине периметра треугольника ABC.

Продолжим  AM и AK до пересечения с прямой BC в точках S и T соответственно. По условию, BM - биссектриса и высота треугольника ABS. Значит ABS - равнобедренный (AB=SB) и BM - его медиана. Аналогично, CK - медиана равнобедренного ACT (AC=CT). Таким образом, ST=SB+BC+CT=AB+BC+AC и MN -  средняя линия треугольника AST. Т.е. MN=ST/2=(AB+BC+AC)/2.