с точки к прямой проведено две наклонные, проекции которых на прямую равняются 5 см и 9 см. Найдите расстояние от одной точки до этой прямой, если одна с наклонных на 2 см больше второй

Ответ

Автор - leoooo

Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра из этой точки к прямой. Обозначим ее х
Пусть длина одной наклонной а, тогда длина второй (а+2)
Первой наклонной соответствует меньшая проекция т.е. 5, а второй соответсвенно 9
Перпендикуляр, наклонная и проекция образуют прямоугольные треугольники, а значит связаны между собой по теореме Пифагора. Тогда получаем два уравнения.
$x^{2} + 5^{2} = a^{2}$ ;
$x^{2} + 9^{2} = (a+2)^{2}$
Если из второго уравнения вычесть первое то мы получим верное равенсто.
$( x^{2} + 9^{2}) - ( x^{2} + 5^{2} ) = (a+2)^{2} - a^{2}$
В левой части последнего уравнения раскроем скобки и приведем подобные, а в правой применим формулу разности квадратов. Получим
$x^{2} +9 ^{2} - x^{2} - 5^{2} = (a +2 - a)(a+2+a)$
$81-25 = ( 2 ) (2a+2)$
в выражении (2a+2) вынесем за скобку 2. Получи
$56=2*2*(a+1)$ Т.е. $4*(a+1) = 56$
(a+1) = 14
a = 13.
Теперь можно найти x подставив а=13 в первое уравнение:
$x^{2} +5 ^{2} =13 ^{2}$
$x^{2} +25=169$
$x^{2} =144$
x=12
Ответ : расстояние равно 12см.